Pourquoi y a-t-il un "t" à a-t-il ?

Réponse très courte

 "a-t-il" est plus simple à prononcer que "a-il" (sic). 

Réponse courte

Pour éviter que deux voyelles soient prononcée à la suite dans un groupe de mots, on ajoute une "fausse" liaison. Comme les liaisons en "t" sont très courantes à la troisième personne, on prend cette lettre pour cette fausse liaison.

Réponse longue

On appelle t euphonique ou t analogique le t ajouté entre le verbe et un pronom sujet de troisième personne (il, elle et on) lorsqu’il y a inversion de ce verbe et de ce sujet. Cette inversion se produit dans une structure interrogative ou dans une  phrase incise

Comment faut-il écrire le t euphonique?

Un trait d’union précède et suit le t euphonique.

Pourquoi appelle-t-on cela un t euphonique?

L’appellation t euphonique s’explique par le fait que l’ajout de cette lettre permet d’éviter un hiatus, c’est-à-dire la rencontre de deux voyelles, entre la voyelle finale du verbe et la voyelle initiale du pronom (euphonique signifiant « qui rend la prononciation plus harmonieuse »). L’appellation t analogique vient du fait que c’est par analogie avec les autres formes verbales que l’on a choisi la consonne t, marque verbale propre à la troisième personne du singulier (il finit, elle savait, on croit).

Faut-il ajouter un t euphonique quand le verbe se termine par un d?

L’ajout du t euphonique n’est exigé que lorsque le verbe se termine par un e ou par un a, et avec les verbes vaincre et convaincre.

La présence du t euphonique est superflue avec les verbes se terminant par un d qui se prononce t.